Todo sobre potencias

Multiplicar potencias de distinta base y distinto exponente

¿Qué son las potencias?

Las potencias están formadas por una base y un exponente. El exponente nos indicará cuántas veces debemos multiplicar la base por sí misma.

Índice de Temas:

1. Tipos de potencias según su base

2. Propiedades de las potencias

3. Multiplicación y división de potencias
4. Decimales: 
   producto de un número natural y una potencia de 10

Tipos de potencias según su base

1) Potencias de base natural y exponente natural

En este caso multiplicaremos la base por sí misma las veces que nos indique el exponente.

2) Potencias cuya base es una fracción y su exponente un número natural

El exponente nos indica cuantas veces debemos multiplicar por sí mismos tanto el numerador como el denominador de la fracción. 

3) Potencias de base decimal y exponente natural

Multiplicaremos el decimal por sí mismo cuantas veces nos indique el exponente. 

Otra manera de resolver una potencia de base decimal, es transformando el decimal a fracción y luego multiplicando la fracción por sí misma las veces que nos indique el exponente.

4) Potencias de base entera y exponente natural

Para resolver estas potencias multiplicaremos el entero por sí mismo las veces que nos indique el exponente.
En el caso de los enteros positivos, se resolverán de la misma manera en que lo hacemos con los números naturales. Pero, ¿que pasará si el entero es negativo?

Como te habrás dado cuenta, cuando estemos frente a potencias cuya base entera sea negativa, el resultado será positivo si el exponente es par y negativo si el exponente es impar.

5) Potencias de base 10

a) Con exponente natural

Como verás, es muy simple resolver potencias de base 10 y exponente natural. El resultado siempre será un 1 acompañado de cuantos ceros nos indique el exponente. Así si tenemos , entonces el resultado será un 1 acompañado de 3 ceros, es decir, 1 000.
b) Con exponente entero
Para resolver potencias de base 10 con exponente entero positivo, el procedimiento será el mismo que utilizamos para resolver potencias de base 10 y exponente natural.
Pero, ¿cómo resolvemos aquellas potencias de base 10 y exponente negativo?

Observando la figura, podemos ver que una forma de resolver potencias de base 10 y exponente negativo es transformar la potencia en una fracción donde el numerador siempre es 1 y el denominador será la misma potencia pero con exponente positivo. Luego al dividir la fracción obtenemos el resultado de la potencia.
Una forma más fácil de resolverlas es la siguiente:
-  El resultado siempre será un decimal sin enteros
-  El exponente negativo nos indicará en que posición debemos ubicar el 1 en la parte decimal. Así, el 
-1, nos indicará que debemos ubicar el 1 en la primera posición, es decir, los décimos; el -2, nos indica que debemos ubicarlo en la segunda posición, es decir, los centésimos, y así sucesivamente
- Y por último, todos los espacios que queden vacíos a la izquierda del 1 en la parte decimal debemos rellenarlos con ceros
Veamos el siguiente ejemplo:

Importante:

Todas las potencias con base distinta de 0 cuyo exponente sea 0, su resultado será siempre 1.

Propiedades de las potencias

1) Multiplicación de potencias de igual base

Al multiplicar potencias de igual base, mantendremos la base y sumaremos los exponentes.

2) División de potencias de igual base

Cuando queremos dividir potencias de igual base, mantendremos la base y restaremos los exponentes.

3) Potencia de una potencia

Para resolver la potencia de una potencia, debemos mantener la base y multiplicar los exponentes.

4) Multiplicación de potencias de igual exponente

Para obtener el producto de potencias de igual exponente, debemos multiplicar las bases y mantener el exponente.

5) División de potencias de igual exponente

Para obtener el cuociente de potencias de igual exponente, debemos dividir las bases y mantener el exponente.

Como te habrás dado cuenta, las propiedades de las potencias son aplicables a bases naturales, fraccionarias, decimales y enteras.

Decimales: producto de un número natural y una potencia de 10

Los decimales podemos representarlos como la multiplicación entre un número natural y una potencia de 10 con exponente entero negativo.
Veamos los siguientes ejemplos:

¿Qué resultados obtenemos?

Como podrás darte cuenta, todo número decimal puede ser representado como el producto de un número natural por una potencia de 10 con exponente negativo.

¿Cómo podemos representar el decimal 12,3?

¿Cómo lo hicimos?

Al decimal 12,3, le corrimos la coma un espacio a la derecha de manera que quedara escrito como número natural 123,0 = 123 y luego nos preguntamos cuántos espacios debíamos correr la coma a la izquierda para que volviéramos a obtener el decimal 12,3. Como nos tenemos que correr 1 espacio, entonces el exponente de la potencia de 10 será -1. 
También podríamos representarlo de las siguientes formas:

Multiplicación y división de potencias

1) Multiplicación y división de una potencia de 10 por una potencia de 10

Para resolver una multiplicación o división de una potencia de 10 por otra potencia de 10, primero debemos recurrir a las propiedades de las potencias que nos dicen que al multiplicar dos potencias de igual base, debemos mantener la base y sumar los exponentes y que al dividir, debemos mantener la base y restar los esponentes.

Luego debemos resolver la potencia como aprendimos anteriormente: el resultado será un 1 acompañado de cuantos ceros nos indique el exponente.

2) Multiplicación y división de un número natural por una potencia de 10

El producto entre un número natural y una potencia de 10 será el número natural acompañado de cuantos ceros nos indique la potencia de 10.

En el caso de la división, primero debemos recordar que un número natural es un decimal con período cero, por lo tanto, es lo mismo decir 45 que 45,0. Para obtener el cuociente debemos mantener el número natural y correr la coma hacia la izquierda las veces que nos indique el exponente de la potencia de 10. Si quedan espacios vacíos como en el primer ejemplo, debemos rellenarlos con ceros.

3) Multiplicación y división de un número decimal por una potencia de 10

Al multiplicar un decimal por una potencia de 10, debemos correr la coma hacia la derecha cuantas veces nos indique el exponente de la potencia de 10; en el caso de las divisiones, debemos correr la coma hacia la izquierda.

Cuando sea necesario debemos agregar ceros después de la última cifra de la parte decimal, en el caso de las multiplicaciones; y anteponer ceros a la primera cifra de la parte decimal o en la parte entera en el caso de las divisiones.

PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE POTENCIAS

Como simplifica 7² × 7⁶?

Si Usted recuerda la forma de como son definidos los exponentes, Usted sabe que esto significa:

(7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7)

Si elimina los paréntesis, tenemos el producto de ocho 7s, que puede ser escrito más simplemente como:

7⁸

Esto sugiere un atajo: todo lo que necesitamos hacer es sumar los exponentes!

7² × 7⁶ = 7^{(2 + 6)} = 7⁸

En general, para todos los números reales a, b, y c,

a^b × a^c = a^(b + c)

Para multiplicar dos potencias con la misma base, sume los exponentes.

Si Usted solo recuerda esta y olvida el resto, puede usarla para encontrar la mayoría de las otras propiedades.

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EXPONENTES CERO

Muchos estudiantes que inician piensan que es raro que algo elevado a la potencia de cero es 1. (“Debe ser 0!”) Puede usar la propiedad del producto de potencias para mostrar porque esto debe ser verdadero.

7⁰ × 7¹ = 7^{(0 + 1)} = 7¹

Sabemos que 7¹ = 7. Así, esto nos dice que 7⁰ × 7 = 7. Que número por 7 es igual a 7? Si decimos que 0, tenemos 0 × 7 = 7. No es verdadero.

En general, para todos los números reales a, a ≠ 0, tenemos:

a⁰ = 1

Dese cuenta que 0⁰ no está definido. (Presione aquí para ver porque.)

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EXPONENTES NEGATIVOS

Puede usar la propiedad del producto de potencias para encontrar esta también. Suponga que desea saber cuanto es 5^-2.

5-2 × 52 = 5(-2 + 2) = 50

Sabemos que 5² = 25, y sabemos que 5⁰ = 1. Así, esto nos dice que 5^-2 × 25 = 1. Que número por 25 es igual a 1? Ese sería su inverso multiplicativo, 1/25.

En general, para todos los números reales a y b, donde a ≠ 0, tenemos:

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PROPIEDAD DEL COCIENTE DE POTENCIAS

Cuando multiplica dos potencias con la misma base, Usted suma los exponentes. Así cuando divide dos potencias con la misma base, Usted resta los exponentes. En otras palabras, para todos los números reales a, b, y c, donde a ≠ 0,

Lo que realmente está haciendo es eliminar los factores comunes del numerador y del denominador. Ejemplo:

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PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN PRODUCTO

Cuando multiplica dos potencias con el mismo exponente, pero bases diferentes, las cosas se hacen un poco de forma distinta.

3² × 4² = (3 × 3) × (4 × 4)

Debido a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, podemos reescribir esto como

3² × 4² = (3 × 4) × (3 × 4) = 12²

En general, para todos los números reales a, b, y c (mientras que tanto a y c o tanto b y cno sean cero):

a^c × b^c = (ab)^c

Para encontrar la potencia de un producto, ya sea que encuentre la potencia de cada factor y luego multiplique o multiplique los factores y eleve a la potencia el producto.

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PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN COCIENTE

Esta es bastante similar a la anterior. Por la eliminación de factores comunes, puede ver que:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Simplifique

Para todos los números reales a, b, y c (siempre que b ≠ 0, y a y c ambas no sean 0):

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PROPIEDAD DE POTENCIA DE UNA POTENCIA

La propiedad del producto de potencias puede ser desarrollada. Suponga que tiene un número elevado a una potencia, y multiplica la expresión completa por si misma una y otra vez. Esto es lo mismo que elevar la expresión a una potencia:

(5³)⁴ = (5³)(5³)(5³)(5³)

Pero la propiedad del producto de potencias nos dice que

(5³)(5³)(5³)(5³) = 5^{3 + 3 + 3 + 3} = 5⁴⁽³⁾ = 5¹²

Así es suficiente con solo multiplicar las potencias!

En general, para todos los números reales a, b, y c,

(a^b)^c = a^bc.

Para encontrar una potencia de una potencia, multiplique los exponentes.

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EXPONENTES RACIONALES

Hemos cubierto los exponentes positivos, exponentes negativos, y los exponentes cero. Pero que pasa si tiene un exponente que no es un entero? Que pasa, por ejemplo, si 9^1/2?

Podemos volver a caer otra vez en la propiedad del producto de potencias para encontrar:

9^1/2 × 9^1/2 = 9^{(1/2 + 1/2)} = 9¹

Sabemos que 9¹ = 9, así 9^1/2 = .  Así, el exponente ½ trabaja como una raíz cuadrada. Similarmente, a^1/3 es equivalente a .